*** Positions relatives d'une courbe et des tangentes

Soit \(f\)  la fonction polynôme du troisième degré définie sur \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = x^3 - 3x\) .

Le but de cet exercice est d'étudier la position relative de la courbe représentative de  \(f\)  par rapport à ses tangentes. On pourra conjecturer les résultats qui seront démontrés dans les questions suivantes grâce à ce fichier de géométrie dynamique :

1. Montrer que, quel que soit \(x \in \mathbb{R}\) ,  \(f'(x) = 3x^2 - 3\) .

2. En déduire les coordonnées des points de la courbe représentative de  \(f\) en lesquels la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.

3. Dans cette question, on suppose que \(a\) est un réel non nul.
    a. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\)  au point d'abscisse  \(a\) .
Pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) , on pose \(d(x) = f(x) - \left(\left(3a^2 - 3\right)x - 2a^3\right)\) .
    b . Que représente `d(x)` dans le cadre de l'exercice ?
    c. Démontrer que  \(d(x) = \left(x-a\right)^2 \left(x + 2a\right)\) .
    d. En déduire que la tangente au point d'abscisse \(a\)  recoupe la courbe en un point dont on donnera l'abscisse (en fonction de \(a\) ).

3. On suppose maintenant que \(a = 0\) .
    a. Déterminer l'équation de la tangente en `a=0` .
    b. Justifier la phrase suivante : 
La tangente à la courbe représentative de la fonction  \(f\) à l'origine traverse la courbe représentative de la fonction  \(f\) .